Category: кино

Игры разума с бесконечными суммами

(по мотивам "Конкретной математики").
Математики недолюбливают бесконечные расходящиеся суммы типа

T2 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... и т.д.

Дело в том, что сумма последовательности T2 = -1 (2*T2 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = T2 - 1). А это выглядит странно. Сумма положительных чисел дает в итоге отрицательное. Возможно ли такое?

А почему нет? Почему бы просто не допустить, что да,- такое возможно. Сумма всех степеней двойки равняется минус-единице. Данный "странный факт" можно попробовать продемонстрировать. Покажем, что T2 + 1 = 0. Для этого представим T2 в двоичной системе:

T2 = ...11111111111;

Здесь самая правая единица - два в степени 0, левее - два в степени 1 и т.д. Прибавляя к T2 единицу, получаем переполнение каждого разряда и перенос единицы в старший разряд. А поскольку самого старшего разряда как бы нет (бесконечность), то в итоге все доступные разряды обращаются в 0:

T2 = ...11111111111 + 1 = ...0000000000000 = 0;

По аналогии с T2 легко найти сумму степеней других чисел:

T3 = 1 + 3 + 9 + 27 +... = -1/2;
T4 = 1 + 4 + 16 + 64 +... = -1/3;
и т.д.

Итак, примирившись с тем, что бесконечные суммы чисел являются обычным математическим объектом, можно перейти к более интересным последовательностям.

Чему равна сумма всех чисел N1:

N1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = ?
Collapse )