dmagin (dmagin) wrote,
dmagin
dmagin

Category:

Суть спектрального разложения матриц (графов)

Смысл нахождения собственных значений и векторов матриц (вычисления спектра матрицы) от меня долго ускользал. Но поскольку недавно я вроде бы все-таки смог ухватить его за хвост, то постараюсь изложить, пока помню.
Для наглядности возьмем какую-либо прикладную матрицу, - например, матрицу расстояний между городами (ненаправленный граф). В общем случае расстояния между городами могут быть любыми,- в том смысле, что берем расстояния "реально дорожные" (фрактальные), а не просто "расстояния по прямой".

Очевидно, что матрица расстояний МЕЖДУ городами характеризует не сами города (узлы графа), а нечто (ребра) между ними.
Так вот суть спектрального разложения матрицы состоит в том, что параметры между узлами переводятся в характеристики самих узлов. То есть по тому, как узлы (города) связаны с другими, мы можем охарактеризовать сами города, - рассчитать вектора состояний узлов.

Вектора состояний узлов (не путать с собственными векторами!) определяются в пространстве собственных чисел. То есть собственные числа задают базовые вектора состояния узлов.

Для нашей матрицы расстояний собственные числа - это базовые расстояния, которые задают пространство для компонент векторов характеристики городов.

Два представления (характеристики узлов и характеристики ребер) являются взаимно обратимыми - можно на основе базовых характеристик городов вычислить все расстояния между ними. Для вычисления расстояния между городами А и Б нужно просто скалярно перемножить векторы состояний этих городов.

Ну и для чего все это можно/нужно использовать.
Для сравнительного анализа узлов (городов).
Расстояний между городами много - их сложно анализировать.
А если перейти к векторам состояний узлов, то можно сравнивать узлы по различным значениям компонент (обычно по квадратам значений).
Ну и кроме того можно сравнивать сами базовые (собственные) значения для различных матриц (наборов городов).

На описанном свойстве спектров основан спектральный анализ данных электро(резисто)метрии для получение срезов по глубине. Значение резистенсов с глубиной падает, поэтому базовые (собственные) резистенсы можно связать с глубиной. Чем меньше собственное значение - тем глубже слой, который данное значение характеризует.
Tags: Графы, Линейная алгебра, Электрометрия
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments