dmagin (dmagin) wrote,
dmagin
dmagin

Category:

О собственных числах и векторах матрицы Грина (лапласиана)

Этот пост фиксирует некоторые свойства собственных чисел и векторов лапласианоподобных матриц. В частности интересуют свойства матрицы Грина (для решения обратной задачи электрометрии). Для специалистов.


Похоже, что тема обработки данных электрометрии (и свойств резистивной матрицы) была закрыта преждевременно.
Выяснились некоторые детали, которые требуют прояснения.

Ранее был выдвинут тезис о том, что для обработки данных измерений резистенсов вместо расчета обратной матрицы (от матрицы Грина) достаточно получить матрицу контрастности (лапласинан от нее дает матрицу Грина).
Формула для расчета элементов матрицы контрастности имеет вид:

Sij = -Gij = (Rij + R_ave - Ri_ave - Rj_ave)/2, (1)

где R_ave - усредненные значения резистенсов узлов:

Ri_ave = Сумма_i(Rij)/N, R_ave = Сумма(Rij)/N^2 (2)

И все бы хорошо, но нюанс для бесконечного полупространства (количество узлов N стремится к бесконечности) состоит в том, что величина данных усредненных величин стремится к нулю.

Это следствие того, что Сумма_i(Rij) растет с радиусом от точки i линейно, а N - квадратично.

В итоге получаем в пределе Sij = Rij. А это означает, что опора на матрицу контрастности эквивалентна использованию непосредственно резистивной матрицы Rij. Что, конечно, уже не так интересно - теряется много полезной информации.

----
В связи с вышеописанным на повестку дня снова встает вопрос об обращении лапласианов (здесь - матрицы Грина).
Интересно, что при N -> бесконечности матрица Грина становится "взрослой" - аналогом дельта-функции Дирака - ее диагональные элементы стремятся к бесконечности.

В реальности мы имеем дело действительно с большой матрицей. Площадь измерений в электрометрии может содержать сотни и тысячи узлов. Соответственно, количество элементов матрицы может достигать миллиона. Большинство значений, конечно, нулевые - матрица разреженная (Rij стремится к нулю при увеличении расстояния между i и j).

Обращать такие матрицы можно только приближенно - через вычисление собственных значений и векторов (при таком количестве точек вектора и функции - суть одно) матрицы.

Ниже мы приведем основные свойства собственных чисел и векторов. В первую очередь для памятки. Будем через Uij обозначать собственные векторы (СВ), а через Vn - собственные числа (СЧ).

Начнем с известных тождеств.

Sum_i(Gij Uin) = Vn Ujn, (3) - само определение СЧ и СВ.

Sum_i(Uin Uik) = Delta(k,n), (4) - СВ ортонормированы по определению.

Лапласиан является вырожденной матрицей, поэтому его первое минимальное СЧ равно нулю. Далее оно исключается.

На СВ можно образовать (вырожденные) матрицы, элементы которых будут равны произведению соответствующих компонент векторов, это удобно для записи многих свойств:

Wij,n = Uin Ujn. (5)

Зная СЧ и СВ, можно рассчитать элементы исходной матрицы:

Gij = Sum_n(Vn Uin Ujn) = Sum_n(Vn Wij,n). (6)

Упомянем здесь также известное тождество, выражающее элементы резистивной матрицы через СВ и СЧ матрицы Грина:

Rij = Sum_n(Vn (Uin - Ujn)^2). (6')

СЧ резистивной матрицы в сумме равны нулю. Все кроме одного (суммирующего) - отрицательны и равны удвоенным СЧ матрицы Грина (с отриц. знаком).

Нам важно то, что обратная матрица (для матрицы Грина обратной является матрица Кирхгофа) может быть построена на СЧ и СВ:

Lij = Sum_n(1/Vn Wij,n). (7)

Из (7) видно, что обратная матрица может быть построена приближенно - нужны только наименьшие значения Vn. Большие Vn не оказывают существенного вклада в сумму (7).

Собственно, проблема и состоит в том - как (наиболее просто и быстро) найти первые минимальные собственные числа лапласиана (матрицы Грина) и соответствующие им СВ. Это классическая и известная задача. Вот например, один из популярных алгоритмов расчета СЧ и СВ.

Нам кажется, что для лапласианов должны найтись еще какие-то, возможно более простые алгоритмы ввиду дополнительных особенностей и свойств данных матриц.

Продолжаем перечисление свойств СЧ и СВ лапласианов (и матрицы Грина, как частного случая):

Mul_n(Sn) = Det(G)*N, (8) - произведение СЧ (деленное на N) дает детерминант минора G (в терминах моих постов - общий потенциал G).

Sum_n(Sn) = Sum_i(Gii), (9) - сумма СЧ равно сумме диаг. элементов матрицы.

(8) и (9) - известные свойства СЧ и СВ для всех матриц.

Sum_i(Uin) = 0, (10) - Довольно интересное свойство. Сумма всех элементов СВ матрицы Грина дает нуль.

Далее приведены свойства СЧ и СВ именно лапласианов, о которых я не нашел упоминаний у других авторов:

Sum_ij(Wij,k Wij,n) = Delta(k,n), (11)

Свойство (11) лежит в основе расчета СЧ лапласиана по ее СВ:

Sum_ij(Gij Wij,n) = Vn. (12)

Еще интересно, что сумма всех матриц Wij,n также является лапласианом:

Sum_n(Wij,n) = Delta(i,j) - 1/N = E - 1/N I. (13) E - единичная матрица, I - матрица единиц.

Кажется, что при наличии такого огромного количества свойств вычисление СЧ и СВ по заданной G должно быть тривиальным. Однако пока прямой и простой алгоритм расчета неизвестен - используют общие (итерационные) методы, упомянутые выше. Что странно.

UPD.
Лапласиан из формулы (13) El = E - 1/N I выполняет роль единичной матрицы для лапласианов:

G El = G. (14)

Кроме того, вырожденные матрицы Wn (5) можно назвать собственными, так как для них выполняются уравнения (3):

G Wn = Vn Wn. (15)

Tags: Линейная алгебра, Матрица Грина
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments