dmagin (dmagin) wrote,
dmagin
dmagin

Category:

Фиксируем итоги по потокам и потенциалам

Матрица Кирхгофа (МК) - интересная штука. Странно, что ей уделяется мало внимания в стандартных курсах про графы. Наверное, считается, что она имеет больше отношения к электрическим сетям (раз типа Кирхгоф). На самом же деле - это фундаментальная вещь, которую полезно знать всем, кто каким-то образом связан с бинарными отношениями (а в стандартной голове бинарные отношения и электрические сети никак не связаны).
Я исследовал МК на предмет применимости к прямой и обратной задаче электротомографии. Зафиксирую то, что обнаружил (и не встретил у других).

Итак, матрица проводимостей Cij легко переводится в матрицу Кирхгофа Kij:

Kij = Ci E - Cij, где Ci E - диагональная матрица общей (исходящей) проводимости узлов. Ci = Сумма (Cij) по j.

Как уже было сказано выше, МК позволяет определять потенциалы узлов через детерминант миноров соответствующих узлов.

Для многих важных случаев матрица проводимостей (и МК соответственно) симметрична. Это как раз случай электроцепей, изотропного грунта и т.п.
Для такого графа потенциалы всех узлов равны, разности потенциалов нет. Возмущение симметричного графа - это ввод асимметрии какого-либо ребра. На электрическом языке - добавление источника тока между узлами. При возмущении появляется разность потенциалов между другими узлами графа.
Так вот. Рассчитать данную разность по МК можно двумя способами.
Первый - ввести асимметрию в граф, рассчитать потенциалы узлов (через детерминанты миноров) и вычесть один потенциал из другого.
Есть и второй способ, более красивый. Для того, чтобы рассчитать разность потенциалов между узлами kl при заданном возмущении между узлами ij надо в МК:
- удалить строки ij
- удалить столбцы kl
- рассчитать детерминант получившегося минора. Это и будет отклик матрицы на возмущение (коэффициент пропорциональности).
Если бы я знал об этом, то не парился бы с выводом формул для разности потенциалов в 4-мерном графе - они очень просто получаются по МК. Кроме того, можно получить формулы и для больших размерностей, для спец. случаев и пр. Все упростилось.
Из способа расчета вытекает также принцип взаимности - детерминант минора симметричной матрицы не зависит от того, что принимать за строки, а что за столбцы. То есть можно удалить из МК строки kl и столбцы jk - результат будет тот же.

Наверное, через миноры МК можно как-то выйти и на общий вид обратной задачи - восстановление Cij по заданным питающим (диагональным) разностям потенциалов Uij. Но здесь идей у меня пока нет, и найденные частные решения для 4-мерного графа остаются пока неосознанными. Здесь, кстати, еще одна интересная формула обаружена - вычисление общей проводимости узла по известным разностям. Если через Vij обозначить дополняющий потенциал (Vij = Ukl), то общую проводимость i-го узла в 4-мерном графе можно рассчитать по простой формуле (с точностью до множителя):

Ci = (S(Vij))^2 - 2 S(Vij^2),

здесь через S обозначено суммирование по j. Простота формулы выглядит загадочной на фоне довольно громоздких выражений для Cij. Но обобщить пока не удалось. Желающие могут попробовать себя в нахождении формулы для графа 5-й и далее размерности. Для 3-х узлов выражение общей проводимости узла простое - Ci = Ujk. Для 5-мерного графа должно быть что-то 3-й степени, но что именно - пока загадка.

Почему нахождение общей проводимости узла важно - это позволяет приближенно решать обратную задачу. Если мы знаем общую проводимость узла, то часто (для эл. томографии, например) нам большего и не надо - распределение проводимостей узлов дает общую картинку - без уточнения проводимостей между узлами.

Опять же МК помогла понять, почему предпочтительно использовать именно питающие (диагональные) разности потенциалов для решения обратной задачи. С математической точки зрения детерминант диагональных разностей можно посчитать приближенно (в отличие от других, недиагональных), поскольку основной вклад в него дает произведение диагональных элементов МК, а величина диагональных элементов в МК заведомо больше, чем все остальные элементы (представляет собой сумму по столбцу) - это кстати, объясняет в какой-то степени и реальные "физические" наблюдения - питающие напряжения много больше разнесенных.
Если произведение всех диагональных элементов МК обозначить через MC (универсум проводимостей узлов), то питающая разность потенциалов между узлами ij приближенно равна:

Uij = MC / (Ci Cj) - следствие вычитания из МК строк и столбцов с индексами ij.

По данной формуле на основе Uij мы можем примерно оценить Ci для графа любой размерности. Например, для полного 5-мерного графа возможный порядок расчета такой:

Определяем MC через Uij (MC = С1 С2 С3 С4 С5):
Произведение (Uij) = T^10 / T^4 = T^6

Вычисляем C1:
U12 U13 U14 U15 = MC^4 / (C1^3 MC) = (MC/C1)^3 = Sqrt(Произведение (Uij)) / C1^3

Откуда C1^3 = Sqrt(Произведение (Uij)) / (U12 U13 U14 U15)

Если по отношению к заданному узлу все разности потенциалов разделить на два рода - касающиеся данного узла и не касающиеся, и обозначить их произведения как Xi и Yi соответственно, то получим:

Ci (5) = (Yi/Xi)^(1/6)

Надо бы обобщить последнюю формулу для графа n-ой размерности.
Tags: Графы, Матрица Кирхгофа, Электрометрия
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments