You are viewing dmagin

Previous Entry | Next Entry

Электротомография


Возня с графами дала новые идеи к старой задаче - обратная задачи электроразведки (электротомография по современному). Зафиксирую то, что нарыл из "графического" подхода. Как на самом деле нужно мерять и обрабатывать результаты.

Традиционно в электрометрии разделяют измерительные электроды и питающие на две пары. По одним подают ток,- с других снимают напряжение.
Как мне недавно стало понятно - для интерпретации данных такой метод не слишком удачен. Потому что, как показано в предыдущих постах, измеряемая разность потенциалов выражается таким вот определителем:

U34 = dC*(C14*C23 - C13*C24)

здесь 1,2 - узлы питающих электродов, 3,4 - измерительных, Cij - проводимость между узлами i и j. dC - множитель, зависящий от величины тока и пр.

Поскольку проводимость между узлами зависит не только от удельного сопротивления среды, но и от расстояния (чем больше расстояние,- тем хуже проводимость), то часто основной вклад в результаты таких измерений вносит взаимное расположение электродов, а не проводимость среды.

Предлагается изменить методику измерений. Величина U34 тоже может быть полезной, но она вторична. Основной упор предлагается сделать на разницу потенциалов между одним из питающих электродов и одним измерительным (меняя их сочетание). Более информативными и легче интерпретируемыми являются величины U13, U14, U23, U24 (в акте измерения и интерпретации задействованы 4 узла графа). Можно также использовать U21, но на вспомогательных ролях, аналогично U34 (см. предыдущий пост с формулами).

Тогда на основании приведенных разностей можно оценить относительную разницу проводимостей между узлами (ради фиксации данных формул, собс-но, и пишется пост):

C23/C13 = U31/U23 + U34/U23 + O(U34/U23*(C43-C13)/C13),
C24/C14 = U41/U24 + U43/U24 + O(U43/U24*(C43-C14)/C14).

Здесь через O(...) обозначена малая величина - погрешность интерпретации. Моделирование показало, что погрешность вычисления отношений проводимостей по данным формулам не превышает единиц процентов до 2-кратной разности проводимостей между узлами.
Можно также оценить отношение C13/C24 = U23/U41, но здесь погрешность выше - может быть десяток процентов.

Поэтому для замыкания отношений проводимостей между узлами проще провести дополнительное измерение, меняя местами питающие и измерительные электроды (в пределах фиксированных 4-х узлов). Это нам даст отношения C23/C24 и C13/C14.

Итак, у нас есть 4 узла (на поверхности) и оценка отношения проводимостей между всеми узлами. Если узлы образуют квадрат, то можно покрыть такими квадратами всю поверхность и вычислить отношение проводимостей (и это не шаманство, не "кажущееся сопротивление", а реальная контрастность среды) для всего измеряемого участка. При квадратной ячейке измерений питающие электроды располагаются по диагоналям квадрата - сначала по одной, а потом по другой.

Далее надо идти вглубь, иначе на томографию не потянем. Это 2-й шаг.
Для глубинной разведки надо увеличивать расстояние между электродами, как бы захватывая большее глубинное пространство. В то же время надо как-то исключить влияние поверхностной проводимости. Это реальная большая проблема.

Что предлагается с точки зрения "графического подхода". Сетку электродов оставляем на месте - но размер измерительной ячейки (квадрата) удваиваем (площадь, соответственно, учетверяется). Проводим измерения по описанной выше методике, получая те же U13, U14, U23, U24 но для удвоенной ячейки. Одновременно с этим мы проводим расчет данных величин на основании предыдущих измерений отношений проводимостей (как выполнять расчет в такой системе - есть в предыдущих постах). Если данные расчета (мы ориентируемся на отношение величин, а не на абсолютные значения, ес-но) и данные измерений будут отличаться, то это означает, что в нашем графе между узлами существуют не только прямые связи, проводимость которых мы оценили на первом шаге, но и более далекие - глубинные. То есть существует некая "дальняя проводимость", которая на малом шаге измерений принималась нулевой (отсутствие связи). Теперь мы ее пытаемся оценить - вводим необходимые проводимости (такие же - по сторонам увеличенного квадрата) и подбираем их значения такими, чтобы обнулить погрешность между расчетными отношениями потенциалов и измеренными. Именно данные проводимости мы отнесем к глубине - они очищены от влияния поверхности. Кроме того, поскольку расчет выполняется для общего графа (включающего ближние и дальние связи), то мы получим (должны получить) и соотношение между поверхностными и глубинными проводимостями.

2-й шаг (в отличие от 1-го) - область непроверенная (непромоделированная), пока на стадии "вроде бы должно все получиться, но мало ли что".

Следующие шаги - аналогичны. Увеличиваем шаг - считаем то, что должно быть по проведенным ранее измерениям, сравниваем с полученными - вводим корректирующие связи/проводимости. Как-то так.

Comments

( 8 comments — Leave a comment )
kaminae
Oct. 10th, 2010 08:55 pm (UTC)
Методика
Умозаключения автора конечно интересны, но не имееют ничего общего с реальной жизнью.Объясните зачем привлечена теория графов. Какие задачи Вы решаете.
С Уважением, Каминский.
dmagin
Oct. 10th, 2010 10:39 pm (UTC)
Re: Методика
О, компетентные люди зашли. Спасибо за интерес.
Такой молодежный задор и напор сразу почувствовал :).

Надо какое-то общее понимание сначала найти,- одинаково ли мы понимаем какие-то термины, слова...
Что Вы, например, понимаете под "реальной жизнью"? Или "теорией графов" ?

Я в 90-е потратил много усилий для того, чтобы выйти на методы решения обратной задачи электроразведки при наличии данных с сетки электродов (площадные измерения). Но шел, на мой теперешний взгляд, не тем путем. То есть так же как все - через уравнения элетростатики для полуплоскости с неоднородными включениями и попыткой подбора решений.

Насколько я успел просмотреть доступные по данной теме материалы,- принципиально ничего нового за прошедшее время не придумано. Но сделаны неплохие программы для визуализации результатов измерений,- такого уровня в 90-е не было (и про Вас я тоже в 90-е не слышал, извините).

Так вот сейчас я думаю, что использование "расчета потоков в сетях" является более перспективным подходом к обработке данных электроизмерений. Поскольку проще, нагляднее и фундаментальнее.

Во всяком случае один "инвариант ячейки измерений" удалось не только понять, но и численно обосновать (см. предыдущие посты). (Заметьте,- это не банальный "принцип взаимности").

Если есть желание поучаствовать в обсуждении/критике - жду конструктивных вопросов/замечаний.
kaminae
Oct. 11th, 2010 02:36 am (UTC)
Re: Методика
Доброго Времени суток!
Сразу хотел бы уточнить - мы имеем дело с приложением геофизики,
а не медицины? Под реальной жизнью я имел ввиду, собственно, полевую
геофизику, в которой электротомография сейчас, по крайней мере в
инженерном направлении, занимает ведущую роль.
Заранее извиняюсь, что могу писать труизм - т.к. пока недостаточно хорошо
знаю Ваш уровень.
Теперь к терминам - к результатам интерпретации мы редко применяем
термин "обратная задача", обычно инверсия или даже трансформанта.
"Обратные задачи" решают геологи и на это много причин и в первую
очередь эквивалентность.
По методике современной электротомографии - постоянный ток уже давно
не используется, т.к. это неэффективно и медленно, обычно - низкочастотный меандр.
Программное обеспечение, тоже учитывает частоту.
Вся современная аппаратура снабжена коммутирующими устройствами автоматически
переключающими электроды(питающие и приемные).Точность измерений зависит от длины MN.
Поэтому измерять выгоднее "дифференциальной" установкой. Это уже мировой "ГОСТ" и от него
никто не откажется.
Что касается программ которые "визуализируют" результаты это не совсем точно.
Приведу программы Res2Dinv, EarthImager программы МГУ, мои и прочие. Все они успешно решают
прямую и "обратную"(с использованием линеаризованного и не только подходов) задачи.
Интернет вообще пестрит статьями(Geophysics, Geophysical prospecting и др.) и программами
в которых всеми имеющимися на данный момент методами(сетки, конечные элементы, интегральные
уравнения и др.)
решена эта и многие другие задачи для любых источников и компонент поля в частотной и
временной области.
Кстати для справки первая публикация по решению данной задачи(уже с программой) датируется
71 годом(Geophysics).
Теперь все же по обратной задаче. Мне, как геофизику понятно огромное количество причин
влияющих на ее решение. Это шумы, эквивалентность, это резкое падение чувствительности
и разрешающей способности с глубиной. Если "решить" обратную задачу - значит добится минимальной
невязки это одно, если решить геологическую задачу совсем другое. Вообщем лианеризация задачи
с тихоновской регуляризацией и привлечение априорной информации вполне достойный инструмент.

Сейчас - электротомография - готовый продукт, единственной проблемой остается низкая
скорость и ресурсоемкость для трехмерных задач большой размерности.


Зато остается огромное количество других не менее интересных, на которые предлагаю
(возможно сообща) направить силы.
С Уважением, Александр Каминский.


ы.
dmagin
Oct. 11th, 2010 08:49 am (UTC)
Re: Методика
Добрый день,
Спасибо за подробный комментарий – легче позиционироваться с ответом.

Да, в голове я держу прежде всего полевую электрофизику (поскольку "бывал в поле"), но не вижу причин, по которым методика обработки данных неприменима к медицинским или каким-либо другим областям. Математика везде одна.

Наверное, стоит пояснить, что мы занимались (группа занимается до сих пор) применением электроразведки для поиска археологических объектов (а не слоев неоднородности). То есть именно площадные измерения с переключениями питающих и измерительных электродов и пр.

Использование низкочастотного тока – да, вроде бы так – но это же технические особенности реализации,- для обработки все равно используется "приближение постоянного тока".

В терминологии я, конечно, могу путаться. Что такое сейчас (для вас) "решение обратной задачи", "инверсия", "трансформанта"? Суть вроде бы должна быть одна – либо мы по данным измерений можем (или думаем, что можем) восстановить форму, глубину залегания, контрастность и пр. объектов,- либо нет.

О современном состоянии дел в электротомографии я судил в основном по работе M.H.Loke (http://www.georentals.co.uk/Lokenote.pdf). У меня не возникло ощущение "решенности вопроса",- скорее наоборот. Возможно, я не прав,- буду благодарен за ссылки на работы, в которых более подробно раскрывается математика.

Да, я видел скриншоты программ, которые вы привели. В свое время и сам писал подобную. И перечисленным методам (сетка, конечные элементы, интегральные уравнения, регуляризация по Тихонову) действительно "сто лет в обед".
Но такой простой вопрос. Сможете ли Вы, используя любой из известных вам методов, доказать инвариант про 4 электрода (из-за которого я в общем-то и вернулся к теме, неожиданно для себя)? Подробности инварианта – в предыдущих постах.
Я в свое время (через решение дифф. ур-ний) смог лишь показать, что инвариант действительно имеет место для квадратной ячейки в однородной среде с точечной неоднородностью.
А через "баланс потоков в графе" – показал, что инвариант должен иметь место для любого взаимного расположения электродов и для любой (неоднородной) среды.

Попутно выяснил, что и проводить измерения надо по-другому – чтобы интерпретация данных не походила на шаманство. Чтобы мы не "кажущееся сопротивление" считали, а вполне конкретное между конкретными заданными точками среды.

Само предложение рассматривать среду не как "набор однородных кубиков", а как сетку из сопротивлений, думаю, вряд ли оригинально. Но такой подход на самом деле многое упрощает (или мне пока так кажется).
Кроме того (что важно), здесь математика не ограничена электростатикой – потоки в сетях (графы) используются во множестве других задач (из известных аналогов – марковские цепи) – это позволяет использовать аналогии, которые и в голову не приходят, когда смотришь на задачу исключительно с позиций электростатики.
kaminae
Oct. 11th, 2010 02:20 pm (UTC)
Re: Методика
Про медицину спрашивал, т.к. терминология разная. Понимаю откуда ноги
у электротомографии растут.
Томография сейчас уже вышла за пределы постоянного тока. Например, на
нашей необъятной родине очень много мерзлоты, которая представляет для него "экран".
А вот индукционная томография очень даже хорошо работает, например, с вертикальным
магнитным диполем. Точно такая же "подсветка" при измерениях в разных точках.

Про восстановление форм объектов сказать ничего не могу, задача крайне трудоемкая,
если не считать единичных объектов простой формы.
А вот восстановление параметров среды разбитой ячеями - задача самая распространенная.

Как я уже писал в предыдущем посте, мы всегда имеем не идеальные условия решения обратной задачи.

Наиболее приближена к "идеальным" условиям межскважинная томография с доп. системой
скважина-поверхность. Распределение чувствительности такой системы более-менее равномерное, и не затухает так
резко, как при наземных измерениях. Такая система с трех сторон имеет, можно так сказать - "граничные условия", т.е.
области в которых сопротивление определяется уверенно.
С шаманскими методами все эти решения никак не связаны, просто надо объективно оценивать
возможности методов, использовать комплексирование и привлекать априорную информацию.


Как я понял ключевое слово предыдущих постов "инвариант". Честно сказать, пробежался только
по верхам, потом изучу подробнее. Пока, что это представляется, как задача ради задачи. Возможно
я и не прав, но думаю все будут продолжать использовать устоявшиеся алгоритмы.
С теорией графов я знаком поверхностно. Применял пару раз для решения задач
лучевой сейсмики и каких то древообразных списков. К моему глубочайшему сожалению, постичь
и использовать все разделы математики мне вряд ли удасться.

С Уважением, Каминский

kaminae
Oct. 11th, 2010 04:49 pm (UTC)
Re: Методика
Возможно это мои фантазии, но может быть Ваши научные изыскания помогут решить
одну важную проблему электроразведки.
На участках, где измерения получены в разные дни, месяцы,сезоны -
кажущиеся сопротивления (или сигналы) порой бывает очень сложо "сшить". Происходит
нелинейное искажение. Совмещение участков с помощью простых операций(типа сдвиг
в лог. масштабе)не приводит к хорошим результатам.
Подобная проблема может наблюдаться даже в течении одного дня. Вышло солнышко - подтаял снежок.
Вообщем очень реальная и сложная проблема.

Подобными вопросами занимается Журбин - у него есть очень интересные мысли.
dmagin
Oct. 11th, 2010 07:58 pm (UTC)
Re: Методика
Насчет изложенной проблемы надо, конечно, вникать, чтобы что-то вразумительное сказать. Навскидку - мой последний пост про то, что отношение разностей потенциалов узлов в почти симметричном графе не зависит от величины асимметрии узла (тока). Это означает, что скорее всего правильно опираться на отношения потенциалов по сетке (а не на кажущееся сопротивление). Поможет ли такой подход отстроится от погодных условий - понятия не имею (не знаю, например, как влияет таяние снега на проводимость ребер графа),- надо пробовать и смотреть.

С Игорем Витальевичем хорошо знаком - вместе с ним как раз и работал. (Вы на меня по его наводке вышли?). Так что можем как-нибудь вместе собраться и обсудить реальные и надуманные проблемы :).
dmagin
Oct. 11th, 2010 07:39 pm (UTC)
Re: Методика
Я уже немного не поспеваю.

Постоянный или переменный ток - для метода "баланса потоков" (просто термин) разницы нет (если вообще в системе можно выделить какие-то потоки). Поскольку баланс можно строить и на комплексных (частотно-зависимых) потоках (проводимостях) (а в общем случае - на любых объектах, для которых определены операции коммутативного сложения и умножения).

Да, просмотрел еще раз про инверсию данных. Именно так мы и решали, - есть некая модель, которую можно охарактеризовать набором параметров, есть способ решения прямой задачи. Теперь подбираем значения параметров модели так, чтобы невязка между данными эксперимента и данными решения прямой задачи на модели была минимальной. Я правильно изложил суть инверсии?

Это и есть типичное шаманство. Которое в том и состоит, что метод применим тогда, когда мы примерно уже знаем, что мы хотим получить. Параметры горизонтально-слоистой среды из 3-х слоев, например.

Ввиду необходимости наличия априорной информации (регуляризатора) подобная инверсия спотыкается там, где мы понятия не имеем, что ищем. Археологические объекты как раз относятся к сложно формализуемым моделям ввиду разнообразности возможных ситуаций.

Так вот в отличие от инверсии (неважно какой размерности) подход через потенциалы узлов графа решает обратную задачу не подбором параметров модели, а непосредственным вычислением проводимостей между узлами графа на основе известных разностей потенциалов. Мы не параметры модели (слоев, ячеек и пр.) подбираем, а вычисляем связи между узлами графа (точками электродов). При этом чем больше (координатное) расстояние между электродами - тем больше глубина связи, поскольку все поверхностные неоднородности учитываются связями между ближайшими узлами (довольно путанно выразил основную мысль,- но пост именно об этом).

Мои ссылки на "инвариант" - это попытка вытащить Вас из привычного контекста. Удивиться, как удивился в свое время я.
Для разведки никакого особого "ключевого" смысла инвариант не несет, разве что как один из способов борьбы с погрешностями и выбросами данных измерений.

"Задача ради задачи", "мировые ГОСТы", "все будут использовать устоявшиеся алгоритмы"... Мы все склонны отмахнуться от чего-то непривычного. Но я ничего никому и не навязываю. Тем более, что и нет у меня никаких реальных программ расчета, и вряд ли пока появятся - текущая моя работа никак не связана с данной темой.
( 8 comments — Leave a comment )